加入收藏 | 设为首页

财神爷论坛资料图 2while v &gt

来源:本站原创 发布时间:2019-06-05
c?寻找总和为n的连续子数列之算法分析_知识库_博客园
看到有这么道算法题在博客园讨论,算法eaglet和邀月都已经设计出来了,花了点时间读了下,学到点东西顺便记录下来吧。  题目是从1...n的数列中,找出总和为n的连续子数列。  这里先设好算法中需要用到的关键变量:s:目标子数列的第一个元素k:目标子数列的长度  那么目标子数列可以表示为(s, k)  1. naive算法(n^2)  最笨的,但是最容易的想到的方法,就是穷举所有的子数列:for s = 1 to n for k = 1 to n-s+1 if sum(s,612888醉红颜论坛安装, k) == n output(s, k)  复杂度为:n + (n-1) + (n-2) + (n-3).... = n(n-1)/2  所以,其复杂度是O(n^2)  2. 用二分法改进的naive算法 (nlog2n)  我们需要充分利用输入的特性,这里,原始数列的一个很明显的特点就是有序,而利用有序数列提高效率的最常用方法就是二分法。这里我们可以注意到,针对某个子数列起始点s,我们没有必要逐个长度的去求和判定,而是利用其有序的性质,先求(s, (n+s)/2)的和。如果等于n则输出,如果大于n,则数列结尾在前半段,否则在后半段:for s = 1 to n  low = s  high = n  while low < high    mid = (low + high)/2    sum = sum(s, mid)    if sum == n output(s, mid)    else if(sum > n) high = mid    else low = mid  很明显,此算法复杂度为O(nlog2n)  3. 利用规律s*k <= n而设计的算法 (nlnn)  我们知道,s是目标子数列的第一个元素,也是最小的元素,所以必然有sum(s,创富网创富高手论坛,k) >= s*k, 也就是n>=s*k, 也就是k <= n/s,于是算法可以写成:for s = 1 to n  for k = 1 to n/s    if sum(s, k) == n output(s, k);  此处,其复杂度并不是显而易见,但稍加分析:  复杂度 = n + n/2 + n/3 + n/4 + ... + n/n = n (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .. + 1/n),可以注意到,括号中的部分是一个调和级数,其和为lnn。  于是,此算法的复杂度为 O(nlnn),比算法2稍佳,因为lnn的底数要稍大些。  4. 利用规律s*k = n-k(k-1)/2而设计的算法(sqrt(n))  我们知道,对于子数列求和,其公式为:  n = k(s+ (s+k-1))/2 = s*k + k(k-1)/2  得出:  s*k = n - k(k-1)/2  由这个公式我们可以得到两点信息:1*k <= s*k = n-k(k-1)/2,推出n-k(k-1)/2 >= k如果n-k(k-1)/2能够整除k,则k是目标子数列的长度,而起始点可以由公式算出:s = (n-k(k-1)/2)/k  于是,算法就可以以k为变量递增,以n-k(k-1)/2 >= k为限制条件:k = 1v = n-k(k-1)/2while v >= k  if v % k == 0 output(v/k, k) // 如果能整除,则找到解,并且起始点为v/k  k++  v = n-k(k-1)/2  分析复杂度,我们只需关注k的变化,k是从1递增到某个数结束,关键是如何求这个截止的k。  我们的循环结束条件是:  n-k(k-1)/2 >= k  化简得到:  k^2 + k <= 2n  k^2 <= 2n - k  因为k > 0,于是有  k^2 < 2n  k < sqrt(2n)  所以,这个截止的k就应该是sqrt(2n)或者略小于它。到这里,就不难看出其算法复杂度为O(sqrt(n)) - 略去常数因子和低阶函数

Copyright 2017-2023 http://www.fijiu.com All Rights Reserved.